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高中不等式教案

时间：2025-01-27 10:00:30 教案我要投稿

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高中不等式教案

　　作为一名老师，编写教案是必不可少的，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。教案应该怎么写才好呢？下面是小编精心整理的高中不等式教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

高中不等式教案

　　教学分析

　　本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．

　　通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．

　　在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．

　　三维目标

　　1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．

　　2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．

　　3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．

　　重点难点

　　教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．

　　教学难点：准确比较两个代数式的大小．

　　课时安排

　　1课时

　　教学过程

　　导入新课

　　思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．

　　思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？

　　2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？

　　3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？

　　4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？

　　活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．

　　教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．

　　实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.

　　实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．

　　实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．

　　实例4：两点之间线段最短．

　　实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

　　实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.

　　实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

　　教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．

　　教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5|AC|＋|BC|＞|AB|，如下图．

　　|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.

　　|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以．

　　实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

　　对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．

　　讨论结果：

　　(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．

　　(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.

　　应用示例

　　例1(教材本节例1和例2)

　　活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．

　　点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.

　　变式训练

　　1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是()

　　A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)

　　C．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化

　　答案：A

　　解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．

　　2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．

　　解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.

　　∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

　　例2比较下列各组数的大小(a≠b)．

　　(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；

　　(2)a4－b4与4a3(a－b)．

　　活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．

　　解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.

　　∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.

　　(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)

　　＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]

　　＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．

　　∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.

　　∴a4－b4＜4a3(a－b)．

　　点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.

　　变式训练

　　已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．

　　活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．

　　解：xy－1＝x－yy.

　　∵x＞y，∴x－y＞0.

　　当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；

　　当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.

　　点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.

　　例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．

　　活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．

　　解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m＞0，于是a＋mb＋m＞ab.又ab≥10%，因此a＋mb＋m＞ab≥10%.

　　所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．

　　点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，m＞0，则a＋mb＋m＞ab.

　　变式训练

　　已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()

　　A．a1＋a8＞a4＋a5B．a1＋a8＜a4＋a5

　　C．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定

　　答案：A

　　解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4

　　＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．

　　∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.

　　又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.

　　知能训练

　　1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为()

　　A．3B．2C．1D．0

　　2．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．

　　答案：

　　1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.

　　∴只有①恒成立．

　　2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.

　　课堂小结

　　1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．

　　2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．

　　作业

　　习题3—1A组3；习题3—1B组2.

　　设计感想

　　1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．

　　2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．

　　3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．

　　备课资料

　　备用习题

　　1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．

　　2．试判断下列各对整式的大小：(1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.

　　3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.

　　4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．

　　5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．

　　参考答案：

　　1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)

　　＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)

　　＝1＞0，∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．

　　2．解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)

　　＝m2－2m＋5＋2m－5

　　＝m2.

　　∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.

　　∴m2－2m＋5≥－2m＋5.

　　(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)

　　＝a2－4a＋3＋4a－1

　　＝a2＋2.

　　∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.

　　∴a2－4a＋3＞－4a＋1.

　　3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2

　　＝1＋x＋x24－(x＋1)

　　＝x24，又∵x＞0，∴x24＞0.

　　∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.

　　由x＞0，得1＋x2＞1＋x.

　　4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)

　　＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]

　　＝－2xy(x－y)．

　　∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.

　　∴－2xy(x－y)＞0.

　　∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．

　　5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.

　　当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.

　　则(ab)a－b＞1.

　　于是aabb＞abba.

　　综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.

　　不等式证明

　　题目第六章不等式不等式的证明

　　高考要求

　　1．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；

　　2．掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围

　　3．搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤

　　4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题

　　知识点归纳

　　不等式的证明方法

　　（1）比较法：作差比较：

　　作差比较的步骤：

　　①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差

　　②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和

　　③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

　　注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小

　　（2）综合法：由因导果

　　（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……

　　①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件

　　②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达

　　（4）反证法：正难则反

　　（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的

　　放缩法的方法有：

　　①添加或舍去一些项，如：；

　　②将分子或分母放大（或缩小）

　　③利用基本不等式，如：；

　　④利用常用结论：

　　Ⅰ、；

　　Ⅱ、；（程度大）

　　Ⅲ、；（程度小）

　　（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：

　　已知，可设；

　　已知，可设()；

　　已知，可设；

　　（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

　　证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

　　数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究

　　题型讲解

　　例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之

　　分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知

　　解：由题意得

　　证法一：（比较法）

　　，证法二：（放缩法）

　　，证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD

　　，例2已知a，b∈R，且a+b=1

　　求证：

　　证法一：（比较法）

　　即（当且仅当时，取等号）

　　证法二：（分析法）

　　因为显然成立，所以原不等式成立

　　点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件

　　证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）

　　证法四：（反证法）假设，则

　　由a+b=1，得，于是有

　　所以，这与矛盾

　　所以

　　证法五：（放缩法）∵

　　∴左边＝

　　＝右边

　　点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式

　　证法六：（均值换元法）∵，所以可设，∴左边＝

　　＝右边

　　当且仅当t=0时，等号成立

　　点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元

　　证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）

　　设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即

　　故

　　例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：

　　证明：（分析法）要证，只要证：，又，只需证：

　　∴只需证，即证，此式显然成立

　　∴原不等式成立

　　例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：

　　分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，”，从而知

　　证明：（综合法），例5已知

　　的单调区间；

　　(2)求证：

　　（3）若求证：

　　解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）∵

　　∴

　　而

　　⑶

　　∴

　　点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值

　　小结：

　　1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点

　　2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等

　　3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证

　　4基本思想、基本方法：

　　⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法

　　⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法

　　⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：

　　正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯

　　简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式

　　⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法

　　⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题

　　⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件

　　⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度